Introduction

Une imprimante à jet d'encre émet des gouttes sphériques vers un circuit imprimé. Celles-ci se refroidissent sur leur parcours qui doit avoir une valeur telle que la goutte d'encre parvienne au circuit imprimé à une température déterminée. Dans cette partie, la goutte d'encre se déplace à vitesse constante.

• Données :

• goutte d'encre : Φ = 55 μm, ρ = 2400 kg/m³, C = 800 J/kg.K, k = 50 W/K.m, T_init = 200 °C
• air : T = 25 °C, ρ = 1.002 kg/m³, k = 0.0261 W/K.m, ν (viscosité cinématique) = 15.71e^-6 m²/s, Pr = 0.708

Question / Réponse - (1/2)

• Quelle est la distance nécessaire pour parvenir à une température de 50 °C avant L'impact sous une vitesse constante durant toute la trajectoire ?

• I Calculs des différents coefficients

1. Calcul de Re et de la vitesse de la goutte d'encre

m_g•d²x/d²t = F_gravitation - F_déplacement - F_traînée
avec
F_gravitation = ρ_encre•g•π(Φ³/6)
F_déplacement = ρ_air•g•π(Φ³/6)
F_traînée = 0.5•C_x•(πΦ²/4)•(ρ_airV²)

Pour une vitesse constante, on a nécessairement : m_g•d²x/d²t = 0, d'où en négligeant F_déplacement ( ρ_air << ρ_encre ) :
ρ_encre•g•π(Φ³/6) = 0.5•C_x•(πΦ²/4)•(ρ_airV²)

Mais d'après la loi de Stokes pour une sphère :
C_x = 24/Re. Le nombre de Reynolds étant égal à V•Φ/ν (vitesse_air•Φ_sphère/viscosité cinématique), C_x = 24ν/V•Φ en remplaçant : ρ_encre•g•π(Φ³/6) = 0.5•(24ν/V•Φ)•(πΦ²/4)•(ρ_airV²)
⇒ V = (ρ_encre/ρ_air)•(g/ν)•(Φ²/18)
Soit 0.252 m/s et Re = 0.88 .

2. Estimation de Pr

Pr est donné par la table A.4 "Thermophysical properties of gases at atmospheric pressure" en annexe du livre Fundamentals of Heat and Mass Transfer 7ème édition (Wiley). Par interpolation pour 298 K, Pr = 0.708.

3. Estimation de ν (Nu)

Re étant faible, on utilise la relation de corrélation Ranz and Marshall
: Nu = 2 + 0.6•Re^1/2•Pr^1/3, soit Nu = 2.502.

Question / Réponse - (2/2)

• II Calcul du coefficient de transfert thermique

En définitive, puisque h = Nu•(k/Φ) , h = 2.502×(0.0261÷55e^-6) = 1187 W/K•m²

Le modèle est créé dans le problème "ex_7p6_ink_droplets.pbm", la température moyenne du volume est proche des températures de la périphérie et du centre, l'approximation faite dans l'exercice théorique (sphère ramenée à un point) est acceptable.

• III Modèle QuickField™

Le type de modèle est axisymétrique et thermique transitoire. Depuis la version 6.3, la température initiale du système, si elle est uniforme peut être déclarée dans l'onglet "Problem Properties / Timing" soit 200 °C. Le pas de calcul est fixé à "automatic". La géométrie est simplissime :

Schématisation d'une goutte d'encre

Après une simulation de 0.1 s, on exporte le tracé obtenu par le calcul "Average volume temperature" du contour importé du fichier "ex_7p6_ink_droplets.sst". Une conversion vers le format csv avec TkFab permet de mesurer le temps recherché (voir tableau ci-dessous) :

Unité de stockage dans l'air ambiant

Compléments / Conclusion

Avec QuickField™ vitesse = 0.252 m/s, distance = 0.252 x 0.0315 = 7.94 mm, tandis que le calcul théorique (avec l'approximation de la goutte ramenée à un point) donne vitesse = 0.252 m/s, distance = 0.252 x 0.0293 = 7.38 mm

Il y a une légère différence, mais l'approximation faite dans l'exemple du livre de référence est tout à fait acceptable.

Fichiers

• Téléchargement : Fichiers Student (≅ 100 noeuds)   (60 Ko)